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Algebraic Expressions and Identities Class 8 Notes: Chapter 9

Algebraic Expressions and Identities Class 8 के नोट्स विशेष रूप से छात्रों को महत्वपूर्ण अध्याय अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझने और उत्पादक रूप से अध्ययन करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। ये नोट्स छात्रों को एक प्रभावी गणित अभ्यास सत्र के लिए सक्षम करेंगे और परीक्षा में पूछे जाने वाले अध्याय प्रश्नों से निपटने के लिए तैयार होंगे।

Introduction to Algebraic Expressions and Identities

Algebraic Expressions

बीजगणितीय व्यंजक वे व्यंजक होते हैं जो गणितीय संचालकों के साथ-साथ चरों और अचरों से बने होते हैं। बीजगणितीय व्यंजकों की कोई भुजा या चिह्न के बराबर बीजीय समीकरण नहीं होते हैं।
बीजीय व्यंजकों के उदाहरण हैं:

          2x+4, 7y−3+6x, 3t2+4t−1।

Terms

शर्तें अभिव्यक्ति के व्यक्तिगत निर्माण खंड हैं। वे अभिव्यक्ति बनाने के लिए जोड़ते हैं। एक शब्द इसके कारकों का एक उत्पाद है।
उदाहरण के लिए, व्यंजक 5xy - 3, दो पदों, 5xy और (-3) से मिलकर बना है।

Factors

गुणनखंड वे चर या अचर हैं, जिनका गुणनफल एक व्यंजक का पद बनाता है।
उदाहरण के लिए, 8, p और q पद 8pq के गुणनखंड हैं।
कारक ऐसे हैं कि उन्हें और अधिक कारक नहीं बनाया जा सकता है।

कारकों का गुणनफल एक पद बनाता है और शब्दों का योग एक व्यंजक बनाता है।

algebraic expressions and identities : Coefficients

किसी पद के संख्यात्मक गुणनखंड को उस पद का गुणांक कहा जाता है।
6y और 2xy पदों के लिए, 6y का गुणांक 6 है और 2xy का गुणांक 2 है।

Like Terms

समान पद वे पद हैं जिनके समान चर समान घात तक बढ़ाए गए हैं। समान पदों के बीजीय गुणनखंड समान होते हैं। समान पदों के संख्यात्मक गुणांक भिन्न हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए, 3x2y और 5x2y समान पद हैं।

Monomial

केवल एक पद वाला व्यंजक एकपदी कहलाता है।
एकपदी के उदाहरण: 6x, 7pq, x2y, 9xyz, 4bc आदि।

Binomial

एक व्यंजक जिसमें दो असमान पद हों, द्विपद कहलाता है।
द्विपद के उदाहरण: 4y−3z, x6−2, pq+1, आदि।

algebraic expressions and identities For Polynomial

ऐसे व्यंजक जिनमें शून्येतर गुणांकों वाले दो से अधिक पद होते हैं और गैर-ऋणात्मक समाकल घातांक वाले चर बहुपद कहलाते हैं।
उदाहरण: a+b+c+2, 7xy−8x+2+3y, 5t^3−7t+k+3.

algebraic expressions formulas Class 8

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Addition and Subtraction of Algebraic Expressions

जब हम दो बीजीय व्यंजकों को जोड़ या घटा रहे होते हैं, तो हम केवल समान पदों को जोड़ या घटा सकते हैं। दो या दो से अधिक समान पदों का योग एक समान पद होता है, जिसका संख्यात्मक गुणांक सभी समान पदों के संख्यात्मक गुणांक के योग के बराबर होता है।

इसी प्रकार, दो समान पदों के बीच का अंतर एक समान पद है जिसका संख्यात्मक गुणांक दो समान पदों के संख्यात्मक गुणांक के बीच के अंतर के बराबर है।
मान लीजिए अगर हमें $3x^{2}y+y+z$ और $4x^{2}y+7a+5z$ जोड़ना है, तो हम सभी समान पदों को जोड़ देंगे और फिर उनके संख्यात्मक गुणांक जोड़ देंगे।


$(3x^{2}y+4x^{2}y)+\left(y\right)+\left(7a\right)+(z+5z)=7x^{2}y+y+7a+6z$

multiplication of algebraic expressions class 8

Multiplication of Monomials

जब हम दो एकपदी को गुणा करते हैं:

•  पदों का संख्यात्मक गुणांक दोनों पदों के संख्यात्मक गुणांक के गुणनफल के बराबर होता है।

 

•  प्रत्येक बीजीय गुणनखंड का घातांक या घात दोनों एकपदी में उस बीजीय गुणनखंड के घातांक के योग के बराबर होता है।

दो एकपदी का गुणन:

•  x×3y = x×3×y = 3×x×y = 3xy

•  3x×2y = 3×x×2×y = 3×2×x×y = 6xy

•  5x×(−2z) = 5×(−2)×x×z = −10xz

तीन या अधिक एकपदी का गुणा करना:

 

• $2x\times 3y\times 5z=(2x\times 3y)\times 5z=6xy\times 5z=30xyz$

   

• $4xy\times 5x^2{y}^2\times 6x^3{y}^3=(4xy\times 5x^2{y}^2)\times 6x^3{y}^3=20x^3{y}^3\times 6x^3{y}^3=120x^6{y}^6$

algebraic expressions and identities : Distributive Property of Multiplication

वितरण गुण एक बीजीय गुण है जिसका उपयोग कोष्ठक के एक सेट के भीतर एक मान और दो या दो से अधिक मानों को गुणा करने के लिए किया जाता है।
व्यंजक पर विचार करें: 6 × (2+4x)
=(6×2) + (6×4x)
=12 + 24x
यहाँ, हमने एक एकपदी और एक द्विपद को बदलने के लिए वितरण नियम का उपयोग किया है।

Multiplication of any Polynomial

जब हम किन्हीं दो बहुपदों को गुणा करते हैं, तो हम एक बहुपद के सभी पदों या एकपदी को दूसरे बहुपद के सभी पदों से गुणा करते हैं।

जब हम दो द्विपदों को गुणा करते हैं, तो एक द्विपद का प्रत्येक पद दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद को गुणा करता है।

•   द्विपद को द्विपद से गुणा करना

  (3a + 4b) × (2a + 3b)

= 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)

= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) +(4b × 3b)

= 6a² + 9ab + 8ab + 12b²

= 6a² + 17ab + 12b²

जब हम किसी द्विपद को त्रिपद से गुणा करते हैं, तो त्रिपद के तीन पदों में से प्रत्येक द्विपद के दो पदों में से प्रत्येक से गुणा होता है।

•   द्विपद को त्रिपद से गुणा करना

(p + 4) × (p² + 2p + 3)

= p × (p² + 2p + 3) + 4 × (p² + 2p + 3)

= (p³ + 2p² + 3p) + (4p² + 8p + 12)

= p³ + 6p² + 11p + 12