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Rational Numbers Class 8 Notes - Chapter 1

वे संख्याएँ जो कई गणितीय अनुप्रयोगों जैसे जोड़, घटाव और गुणा में शामिल होती हैं, जो कई गणितीय प्रक्रियाओं के साथ स्वाभाविक रूप से बंद होती हैं, परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।

NCERT solutions for class 8 Maths in Hindi medium

Whole Numbers and Natural Numbers

प्राकृत संख्याएं 1 से शुरू होकर अनंत तक की संख्याओं का समुच्चय हैं। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N′ के रूप में निरूपित किया जाता है। पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होकर अनंत तक जाने वाली संख्याओं का समूह होती हैं। तो मूल रूप से वे प्राकृतिक संख्याएं हैं जिनमें शून्य को सेट में जोड़ा जाता है। पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को 'W' के रूप में दर्शाया जाता है, क्लोजर प्रॉपर्टी क्लोजर प्रॉपर्टी जोड़ और गुणा के मामले में पूर्ण संख्याओं के लिए लागू होती है जबकि यह घटाव और भाग के मामले में नहीं होती है। यह प्राकृतिक संख्याओं पर भी लागू होता है। कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी जोड़ और गुणा के मामले में पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के लिए लागू होती है लेकिन घटाव और भाग के मामले में नहीं। साहचर्य संपत्ति साहचर्य संपत्ति जोड़ और गुणा के मामले में पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के लिए लागू होती है लेकिन घटाव और भाग के मामले में नहीं।

Integers

सरल शब्दों में पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ और उनके ऋणात्मक होते हैं। पूर्णांकों के सेट को Z′ या I′ के रूप में दर्शाया जाता है, क्लोजर प्रॉपर्टी क्लोजर प्रॉपर्टी जोड़, घटाव और गुणा के मामले में पूर्णांकों पर लागू होती है लेकिन विभाजन नहीं। कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी जोड़ और गुणा के मामले में कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी पूर्णांकों पर लागू होती है लेकिन घटाव और भाग पर नहीं। साहचर्य संपत्ति साहचर्य संपत्ति जोड़ और गुणा के मामले में पूर्णांकों पर लागू होती है लेकिन घटाव और भाग नहीं।

Rational Numbers

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे p/q के रूप में दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है

, जहां q अशून्य होना चाहिए। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q से निरूपित किया जाता है।

उदाहरण के लिए: -5/7
एक परिमेय संख्या है जहाँ -5 और 7 पूर्णांक हैं। यहाँ तक कि 2 भी एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 21 के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ 2 और 1 पूर्णांक हैं।

NCERT solutions for class 8 Maths chapter 1 : Properties of Rational Numbers

Closure Property of Rational Numbers

किन्हीं दो परिमेय संख्याओं a और ba∗b=c∈Q के लिए अर्थात दो परिमेय संख्याओं के लिए मान लीजिए a और b के लिए योग, घटाव और गुणा संक्रियाओं के परिणाम एक परिमेय संख्या देते हैं। चूँकि दो संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या के रूप में समाप्त होता है, हम कह सकते हैं कि योग के मामले में संकरण गुण परिमेय संख्याओं पर लागू होता है।

उदाहरण के लिए: 2/3+3/4 =(8+9)/12 =17/12 भी एक परिमेय संख्या है जहां 17 और 12 पूर्णांक हैं। दो परिमेय संख्याओं के बीच का अंतर एक परिमेय संख्या में परिणत होता है। इसलिए, घटाव के मामले में परिमेय संख्याओं के लिए क्लोजर प्रॉपर्टी लागू होती है।

उदाहरण के लिए: 4/5 −3/4 =(16−15)/20 =1/20 के बीच का अंतर भी एक परिमेय संख्या है जहां 1 और 20 पूर्णांक हैं। दो परिमेय संख्याओं के गुणन से एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है। इसलिए हम कह सकते हैं कि क्लोजर प्रॉपर्टी गुणन के मामले में भी परिमेय संख्याओं पर लागू होती है।

उदाहरण के लिए: 1/2 ×−4/5 =−4/10 =−2/5 . का गुणनफल

 जो एक परिमेय संख्या भी है जहाँ -2 और 5 पूर्णांक हैं। दो परिमेय संख्याओं के विभाजन के मामले में, हम देखते हैं कि एक परिमेय संख्या a के लिए, a÷0 परिभाषित नहीं है। इसलिए हम कह सकते हैं कि विभाजन के मामले में क्लोजर प्रॉपर्टी परिमेय संख्याओं के लिए लागू नहीं होती है।

ncert solutions for class 8 maths chapter 1 : Commutative Property of Rational Numbers

किन्हीं दो परिमेय संख्याओं a और ba∗b=b∗a के लिए। यानी, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी वह है जहां ऑपरेंड के क्रम में बदलाव के बावजूद समीकरण के परिणाम में वही रहना चाहिए। दो परिमेय संख्याएँ a और b को देखते हुए, (a+b) हमेशा (b+a) के बराबर होने वाला है। इसलिए परिमेय संख्याओं के लिए योग क्रमविनिमेय है।

उदाहरण के लिए: 2/3+4/3 = 4/3 + 2/3 ⇒6/7 = 6/7 दो परिमेय संख्याओं a और b के बीच के अंतर को ध्यान में रखते हुए, (a−b) कभी भी (b−a) के समान नहीं होता। इसलिए परिमेय संख्याओं के लिए घटाव क्रमविनिमेय नहीं है।

उदाहरण के लिए: 2/3 - 4/3 = -2/3 जबकि 4/3 - 2/3 = 2/3 जब हम दो परिमेय संख्याओं a और b के गुणनफल पर विचार करते हैं, तो (a×b) (b×a) के समान होता है। इसलिए परिमेय संख्याओं के लिए गुणन क्रमविनिमेय है।

उदाहरण के लिए: 2/3 × 4/3 = 8/9 4/3 × 2/3 = 8/9 दो संख्याओं a और b के विभाजन को ध्यान में रखते हुए, (a÷b) (b÷a) से अलग है। इसलिए परिमेय संख्याओं के लिए विभाजन क्रमविनिमेय नहीं है।

उदाहरण के लिए: 2÷3=2/3 निश्चित रूप से 3÷2=3/2 . से अलग है

class 8 maths solutions :- Associative Property of Rational Numbers

किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं के लिए a,b और c, (a∗b)∗c=a∗(b∗c)। यानी, साहचर्य संपत्ति वह है जहां एक समीकरण का परिणाम ऑपरेटरों के क्रम में बदलाव के बावजूद समान रहना चाहिए। तीन परिमेय संख्याएँ a, b और c को देखते हुए, यह कहा जा सकता है कि: (a+b)+c = a+(b+c)।

 इसलिए जोड़ साहचर्य है। (a−b)−c≠a−(b−c). क्योंकि (a-b)-c = a-b-c जबकि a-(b-c) = a-b+c. इसलिए हम कह सकते हैं कि घटाव साहचर्य नहीं है। (A×B)×C=A×(B×C)। इसलिए गुणन साहचर्य है।(a÷b)÷c≠(a÷b)÷c। इसलिए विभाजन सहयोगी नहीं है।

NCERT solutions for class 8 Maths chapter 1 PDF : Distributive Property of Rational Numbers

तीन परिमेय संख्याओं a,b और c को देखते हुए, जोड़ और घटाव पर गुणन का वितरण क्रमशः इस प्रकार दिया जाता है: a(b+c)=ab+aca(b−c)=ab−ac

ncert solutions for class 8 maths chapter 1 : Negatives and Reciprocals

Negation of a Number

एक परिमेय संख्या ab के लिए, ab + 0 = ab। अर्थात जब किसी परिमेय संख्या में शून्य जोड़ा जाता है तो परिणाम वही परिमेय संख्या होता है यहाँ '0' को परिमेय संख्याओं के योगात्मक सर्वसमिका के रूप में जाना जाता है। यदि (ab)+(−ab)=(−ab)+(ab)=0, तो यह कहा जा सकता है कि एक परिमेय संख्या ab का योज्य प्रतिलोम या ऋणात्मक -a/b है। साथ ही -ab a/b का योगात्मक प्रतिलोम या ऋणात्मक है।
उदाहरण के लिए: −21/8 का योज्य प्रतिलोम −(−21/8)=21/8 . है

rational numbers class 8 Solutions : - Reciprocal of a Number

किसी भी परिमेय संख्या a/b . के लिए
, a/b×1=a/b. अर्थात, जब किसी परिमेय संख्या को '1' से गुणा किया जाता है, तो परिणाम वही परिमेय संख्या होता है।

 इसलिए '1' को परिमेय संख्याओं के लिए गुणनात्मक सर्वसमिका कहते हैं। यदि a/b×c/d=1, तो यह कहा जा सकता है कि c/d एक परिमेय संख्या a/b का व्युत्क्रम या गुणनात्मक प्रतिलोम है। इसके अलावा a/b एक परिमेय संख्या c/d का व्युत्क्रम या गुणन प्रतिलोम है उदाहरण के लिए: 2/3 का व्युत्क्रम 3/2 है, क्योंकि 2/3×3/2= 1

Representing on a Number Line

• Representation of Rational Numbers on the Number Line

किसी दी गई परिमेय संख्या a को निरूपित करने के लिए, जहाँ a और n पूर्णांक हैं, संख्या रेखा पर : Step 1: दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच की दूरी को 'n' भागों में विभाजित करें।
उदाहरण के लिए: यदि हमें एक परिमेय संख्या 23 दी जाती है, तो हम 0 और 1, 1 और 2 आदि के बीच के स्थान को तीन भागों में विभाजित करते हैं।

Step 2: परिमेय संख्याओं को तब तक लेबल करें जब तक कि श्रेणी में वह संख्या शामिल न हो जाए जिसे आपको चिह्नित करने की आवश्यकता है

ncert solutions for class 8 maths chapter 1

NCERT solutions for class 8 Maths chapter 1 : Rational Numbers between Two Rational Numbers

पूर्ण संख्याओं और प्राकृत संख्याओं के विपरीत किन्हीं दो दी गई परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याओं की संख्या निश्चित नहीं होती है।

उदाहरण के लिए: प्राकृत संख्या 2 और 10 के बीच ठीक 7 संख्याएँ हैं लेकिन 2/10 . के बीच और 8/10 अनंत संख्याएँ हैं जो मौजूद हो सकती हैं। विधि 1 दो परिमेय संख्याओं को देखते हुए, सुनिश्चित करें कि दोनों का हर समान है। एक बार जब एक आम भाजक होता है, तो हम बीच में आने वाली किसी भी परिमेय संख्या को चुन सकते हैं। विधि 2 दो परिमेय संख्याओं को देखते हुए, हम हमेशा उनके मध्य या मध्य बिंदु की गणना करके उनके बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कर सकते हैं।