NCERT solutions for class 9 maths chapter 8 in Hindi

 Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 1.

चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना चतुर्भुज के कोण 3x, 5x, 9x और 13x हैं।

∴ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°

[एक चतुर्भुज के कोण योग गुण]

30x = 360°

x = 360 ∘30 = 12°

3x = 3 * 12° = 36°

5x = 5 * 12° = 60°

9x = 9 * 12° = 108°

13a = 13 * 12° = 156°

चतुर्भुज के अभीष्ट कोण 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 2.

यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

समाधान:

माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिससे AC = BD है।

ncert solutions for class 9 maths chapter 8

 ∆ABC और  ∆DCB में,

एसी = डीबी [दिया गया]

एबी = डीसी [समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष]

बीसी = सीबी [सामान्य]

∴ ∆ABC ≅ ∆DCB  [SSS सर्वांगसमता द्वारा]

∠ABC = ∠DCB [C.P.C.T. द्वारा] …(1)

अब, एबी || DC और BC एक तिर्यक रेखा है। [∵ ABCD एक समांतर चतुर्भुज है]

∠ABC + ∠DCB = 180° … (2) [सह-आंतरिक कोण]

(1) और (2) से, हमारे पास है

∠ABC = ∠DCB = 90°

अर्थात्, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका कोण 90° के बराबर है।

ABCD एक आयत है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 3.

दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह समचतुर्भुज होता है।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

class 9 maths chapter 9

∆AOB और ∆AOD में, हमारे पास है

एओ = एओ [आम]

OB = OD [O, BD का मध्य-बिंदु है]

∠AOB = ∠AOD [प्रत्येक 90]

∴ ∆AQB ≅ ∆AOD [द्वारा, एसएएस सर्वांगसमता

AB = AD [C.P.C.T. द्वारा] ……..(1)

इसी तरह, एबी = बीसी .. ..(2)

बीसी = सीडी …..(3)

सीडी = डीए ……(4)

(1), (2), (3) और (4) से, हमारे पास है

एबी = बीसी = सीडी = डीए

अत: चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

वैकल्पिक रूप से: ABCD को पहले एक समांतर चतुर्भुज सिद्ध किया जा सकता है, फिर आसन्न भुजाओं के एक जोड़े को बराबर सिद्ध करने पर समचतुर्भुज प्राप्त होगा।

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Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 4।

दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक ऐसा वर्ग है जिसके विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(i) यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं, हमें AC = BD सिद्ध करना होगा।

 ∆ABC और  ∆BAD में, हमारे पास है

एबी = बीए [सामान्य]

BC = AD [एक वर्ग ABCD की भुजाएँ]

∠ABC = ∠BAD [प्रत्येक कोण 90° है]

∴ ∆ABC ≅ ∆BAD  [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

एसी = बीडी [सी.पी.सी.टी. द्वारा] ...(1)

(ii) एडी || BC और AC एक तिर्यक रेखा है। [∵ एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है]

 ∠1 = ∠3

[वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं]

इसी प्रकार, ∠2 = ∠4

अब, OAD और OCB में, हमारे पास है

AD = CB [एक वर्ग ABCD की भुजाएँ]

∠1 = ∠3 [साबित]

∠2 = ∠4 [साबित]

∆OAD ≅ ∆OCB [एएसए सर्वांगसमता द्वारा]

OA = OC और OD = OB [C.P.C.T. द्वारा]

अर्थात्, विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर समद्विभाजित करते हैं। …….(2)

(iii) ∆OBA और ∆ODA में, हमारे पास है

ओबी = ओडी [साबित]

BA = DA [एक वर्ग ABCD की भुजाएँ]

ओए = ओए [सामान्य]

 ∆OBA ≅ ∆ODA [SSS सर्वांगसमता द्वारा]

 ∠AOB = ∠AOD [C.P.C.T. द्वारा] …(3)

 ∠AOB और  ∠AOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

 ∠AOB + ∠AOD = 180°

 ∠AOB = ∠AOD = 90° [द्वारा(3)]

⇒ AC ⊥ BD …(4)

(1), (2) और (4) से हम पाते हैं कि AC और BD बराबर हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 5.

दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD बराबर हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

ncert solutions for class 9 maths chapter 8

अब, ∆AOD और ∆AOB में, हमारे पास है

∠AOD = ∠AOB [प्रत्येक 90°]

एओ = एओ [आम]

OD = OB [ O BD का मध्यबिंदु है]

∆AOD ≅ ∆AOB [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

AD = AB [C.P.C.T. द्वारा] …(1)

इसी तरह, हमारे पास है

एबी = बीसी … (2)

बीसी = सीडी …(3)

सीडी = डीए …(4)

(1), (2), (3) और (4) से, हमारे पास है

एबी = बीसी = सीडी = डीए

चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ समान हैं।

∆AOD और ∆COB में, हमारे पास है

एओ = सीओ [दिया गया]

ओडी = ओबी [दिया गया]

∠AOD = ∠COB [ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]

अत: ∆AOD ≅ ∆COB [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

∠1 = ∠2 [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

लेकिन, वे एकांतर आंतरिक कोणों का एक युग्म बनाते हैं।

AD || BC

इसी तरह, एबी || डीसी

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ समान हों, एक समचतुर्भुज होता है।

ABCD एक समचतुर्भुज है।

अब,  ∆ABC और  ∆BAD में, हमारे पास है

AC = BD [Given]

BC = AD [Proved]

AB = BA [Common]

 ∆ABC ≅ ∆BAD [SSS सर्वांगसमता द्वारा]

∠ABC = ∠BAD [C.P.C.T. द्वारा] ……(5)

चूंकि, एडी || BC और AB एक तिर्यक रेखा है।

∠ABC + ∠BAD = 180° .. (6) [सह - आंतरिक कोण]

∠ ABC = ∠BAD = 90° [द्वारा(5) और (6)]

अत: समचतुर्भुज ABCD का एक कोण 90° के बराबर है।

अत: ABCD एक वर्ग है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 6.

एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। वो दिखाओ

(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है,

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।

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समाधान:

हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जिसमें विकर्ण AC A . को समद्विभाजित करता है

∠DAC = ∠BAC

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(i) चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ एबी || DC और AC एक तिर्यक रेखा है।

∠1 = ∠3 …(1)

[ वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं]

इसके अलावा,  BC || AD और AC एक तिर्यक रेखा है।

∠2 = ∠4 …(2)

[v वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं]

साथ ही, ∠1 = ∠2 …(3)

[ AC A को समद्विभाजित करता है]

(1), (2) और (3) से, हमारे पास है

∠3 = ∠4

AC, C को समद्विभाजित करता है।

(ii) ∆ABC में, हमारे पास है

∠1 = ∠4 [से (2) और (3)]

BC = AB …(4)

[ के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

इसी प्रकार, AD = DC ……..(5)

लेकिन, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। [दिया गया]

AB = DC …(6)

(4), (5) और (6) से, हमारे पास है

एबी = बीसी = सीडी = डीए

अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 7.

ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC, A और C को समद्विभाजित करता है और विकर्ण BD, B के साथ-साथ D को भी समद्विभाजित करता है।

समाधान:

चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है।

एबी = बीसी = सीडी = डीए

साथ ही,  AB || CDऔर  AD || BC

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अब,CD = AD ⇒ ∠1 = ∠2 …….(1)

[∵ त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

इसके अलावा, AD || BC और AC तिर्यक रेखा है।

[ प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है]

∠1 = ∠3 …(2)

[ वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं]

(1) और (2) से, हमारे पास है

∠2 = ∠3 …(3)

चूंकि, एबी || डीसी और एसी ट्रांसवर्सल हैं।

∠2 = ∠4 …(4)

[ एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं] (1) और (4) से,

हमारे पास ∠1 = ∠4 . है

AC ∠C और ∠A को समद्विभाजित करता है।

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि BD, ∠B और ∠D को भी समद्विभाजित करता है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 8।

ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC ∠A और C को समद्विभाजित करता है। वो दिखाओ

(i) ABCD एक वर्ग है

(ii) विकर्ण BD, B और D को समद्विभाजित करता है।

समाधान:

हमारे पास एक आयत ABCD है जिससे AC ∠A और C दोनों को समद्विभाजित करता है।

यानी, 1 = ∠4 और ∠2 = ∠3 ……..(1)

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(i) चूँकि प्रत्येक आयत एक समांतर चतुर्भुज है।

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

⇒ AB || CDऔर एसी एक तिर्यक रेखा है।

∠2 = ∠4 …(2)

[ वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं]

(1) और (2) से, हमारे पास है

∠3 = ∠4

ABC में, ∠3 = ∠4

AB = BC

[ A के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

इसी प्रकार, CD = DA

अत: ABCD एक आयत है जिसकी आसन्न भुजाएँ समान हैं।

ABCD एक वर्ग है।

(ii) चूँकि ABCD एक वर्ग है और एक वर्ग के विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

अत: BD, ∠B और ∠D को भी समद्विभाजित करता है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 9।

समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि DP = BQ (आकृति देखें)। वो दिखाओ

ncert solutions for class 9 maths chapter 8 exercise 8.1 q.9

समाधान:

हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज ABCD है, BD विकर्ण है और बिंदु P और Q इस प्रकार हैं कि PD = QB

(i) चूंकि, AD || BC  और BD एक तिर्यक रेखा है।

∠ADB = ∠CBD [ एकांतर अंत: कोण बराबर होते हैं]

∠ADP = ∠CBQ

अब, APD और CQB में, हमारे पास है

AD = CB [एक समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

पीडी = क्यूबी [दिया गया]

∠ADP = ∠CBQ [सिद्ध]

∠∆APD ≅ ∆CQB [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

(ii) चूंकि, ∆APD ≅ ∆CQB  [सिद्ध]

एपी = सीक्यू [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

(iii) चूंकि, एबी || सीडी और बीडी एक तिर्यक रेखा है।

∠ABD = ∠CDB

∠ABQ = ∠CDP

अब, AQB और CPD में, हमारे पास है

क्यूबी = पीडी [दिया गया]

∠ABQ = ∠CDP [सिद्ध]

AB = CD [Y समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं]

 ∆AQB = ∆CPD [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

(iv) चूंकि, ∆AQB = ∆CPD [सिद्ध]

⇒ एक्यू = सीपी [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

(v) एक चतुर्भुज ∆PCQ में,

विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं। [साबित]

∆PCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 10।

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर लंबवत हैं (देखिए आकृति)। वो दिखाओ

class 9 maths chapter 9 in Hindi

समाधान:

(i) ∆APB और ∆CQD में, हमारे पास है

∠APB = ∠CQD [प्रत्येक 90°]

AB = CD [ एक समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

∠ABP = ∠CDQ

[ एकांतर कोण AB के बराबर होते हैं || सीडी और बीडी एक तिर्यक रेखा है]

APB = CQD [AAS सर्वांगसमता से]

(ii) चूंकि,  ∆APB ≅ ∆CQD [सिद्ध]

एपी = सीक्यू [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 11।

∆ABC और ∆DEF में, , AB = DE, AB || DE, BC – EF and BC || EF.  शीर्ष A, B और C क्रमशः शीर्षों D, E और F से जुड़े हैं (आकृति देखें)।

वो दिखाओ

(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है

(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है

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(iii) AD || CF  और AD = CF

(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है

(v) एसी = डीएफ

(vi)  ∆ABC ≅ ∆DEF

समाधान:

(i) हमारे पास AB = DE [दिया गया है]

और AB || DE [दिया गया]

मैं। e., ABED एक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाओं (AB और DE) का एक युग्म समानांतर और समान लंबाई का है।

ABED एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) बीसी = ईएफ [दिया गया]

और BC || EF [दिया गया]

यानी बीईएफसी एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्षों (बीसी और ईएफ) की एक जोड़ी समानांतर और बराबर लंबाई की होती है।

BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) ABED एक समांतर चतुर्भुज है [सिद्ध]

∴ AD || BE और एडी = बीई …(1)

[ एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं] साथ ही, BEFC एक समांतर चतुर्भुज है। [साबित]

BE || CF और BE = CF …(2)

[ एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर होती हैं]

(1) और (2) से, हमारे पास है

AD || CF और AD = CF

(iv) चूंकि, AD || CF और AD = CF [सिद्ध]

अर्थात, चतुर्भुज ACFD में, विपरीत भुजाओं (AD और CF) का एक जोड़ा समानांतर और समान लंबाई का होता है।

चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) चूँकि ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [साबित]

अत: AC =DF [∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

(vi) ∆ABC और ∆DFF में, हमारे पास है

एबी = डीई [दिया गया]

बीसी = ईएफ [दिया गया]

एसी = डीई [(v) भाग में सिद्ध]

∆ABC ≅ ∆DFF  [एसएसएस सर्वांगसमता द्वारा]

Ex 8.1 कक्षा 9 गणित प्रश्न 12।

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || सीडी और एडी = बीसी (आकृति देखें)। वो दिखाओ

(i)∠A=∠B

(ii)∠C=∠D

(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD

quadrilateral class 9 notes

[संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो AB को E पर काटती है]।

समाधान:

हमने एक समलंब ABCD दिया है जिसमें AB || सीडी और एडी = बीसी।

(i) AB को E तक बढ़ाइए और  CF || AD  ..(1)

∵ AB || DC

⇒ एई || डीसी भी एडी || सीएफ़

AECD एक समांतर चतुर्भुज है।

⇒ AD = CE …(1)

[ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

लेकिन AD = BC …(2) [दिया गया]

द्वारा (1) और (2), BC = CF

अब, BCF में, हमारे पास BC = CF . है

∠CEB = ∠CBE …(3)

[∵ त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

साथ ही,  ∠ABC +  ∠CBE = 180° … (4)

[रैखिक जोड़ी]

और  ∠A +  ∠CEB = 180° …(5)

[समांतर चतुर्भुज ADCE के सह-आंतरिक कोण]

(4) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

 ∠ABC +  ∠CBE =  ∠A +  ∠CEB

 ∠ABC = ∠A [से (3)]

 ∠B =  ∠A …(6)

(ii) एबी || सीडी और एडी एक तिर्यक रेखा है।

 ∠A + ∠D = 180° …(7) [सह-आंतरिक कोण]

इसी प्रकार, ∠B +  ∠C = 180° … (8)

(7) और (8) से, हम प्राप्त करते हैं

 ∠A +  ∠D =  ∠B +  ∠C

 ∠C = ∠D [से (6)]

(iii) ∆ABC और ∆BAD में, हमारे पास है

एबी = बीए [सामान्य]

BC = AD [दिया गया]

∠ABC = ∠BAD [सिद्ध]

∆ABC = ∆BAD [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

(iv) चूँकि ∆ABC = ∆BAD [सिद्ध]

⇒ AC = BD[सी.पी.सी.टी. द्वारा]

ncert solutions for class 9 maths chapter 8 exercise 8.2

प्रश्न 1।

ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (आकृति देखें)। एसी एक विकर्ण है। वो दिखाओ

(i) एसआर || एसी और एसआर = (1/2) एसी

(ii) PQ = SR

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

ncert solutions for class 9 maths chapter 8 exercise 8.2

समाधान:

(i)  ∆ACD में, हमारे पास है

∴ S, AD का मध्य-बिंदु है और R, CD का मध्य-बिंदु है।

एसआर = 1/2एसी और एसआर || एसी ...(1)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

(ii) ABC में, P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्य-बिंदु है।

पीक्यू = 1/2एसी और पीक्यू || एसी ...(2)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

पीक्यू = 1/2एसी = एसआर और पीक्यू || एसी || एसआर

⇒ पीक्यू = एसआर और पीक्यू || एसआर

(iii) एक चतुर्भुज PQRS में,

पीक्यू = एसआर और पीक्यू || एसआर [साबित]

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 2।

ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

समाधान:

हमारे पास एक समचतुर्भुज ABCD है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। एसी ज्वाइन करें।

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ABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।

∴ PQ = 1/2AC और PQ || एसी ...(1)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

ADC में, R और S क्रमशः CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

एसआर = 1/2 एसी और एसआर || एसी ...(2)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

पीक्यू = 1/2एसी = एसआर और पीक्यू || एसी || एसआर

⇒ पीक्यू = एसआर और पीक्यू || एसआर

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। …….(3)

अब, ERC और EQC में,

∠1 = ∠2

[ समचतुर्भुज के विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं]

सीआर = सीक्यू [∵CD/2 = BC/2]

सीई = सीई [आम]

∆ERC ≅ ∆EQC [[एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

∠3 = ∠4 …(4) [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

परंतु ∠3 + ∠4 = 180° ……(5) [रैखिक युग्म]

(4) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

∠3 = ∠4 = 90°

अब, ∠RQP = 180° – ∠b [Y PQ के लिए सह-आंतरिक कोण || एसी और ईक्यू तिर्यक है]

लेकिन ∠5 = ∠3

[∵ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं]

∠5 = 90°

अत: ∠RQP = 180° - ∠5 = 90°

समांतर चतुर्भुज PQRS का एक कोण 90° होता है।

अत: PQRS एक आयत है।

प्रश्न 3।

ABCD एक आयत है और P, Q, R उत्तर S क्रमशः AB, BC, CD और DA भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

समाधान:

हमारे पास है,

अब, ABC में, हमारे पास है

पीक्यू = 1/2एसी और पीक्यू || एसी ...(1)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

इसी प्रकार, ADC में, हमारे पास है

एसआर = 1/2एसी और एसआर || एसी ...(2)

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

पीक्यू = एसआर और पीक्यू || एसआर

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

अब, PAS और PBQ में, हमारे पास है

∠A = ∠B [प्रत्येक 90°]

AP = BP [ ∵ P, AB का मध्य-बिंदु है]

एएस = बीक्यू [∵ 12एडी = 12बीसी]

∆PAS ≅ ∆PBQ [एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

पीएस = पीक्यू [सी.पी.सी.टी. द्वारा]

साथ ही, PS = QR और PQ = SR [∵समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]

अतः, PQ = QR = RS = SP अर्थात् PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।

अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4.

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC, BD एक विकर्ण है और E, AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर AB के समांतर एक रेखा खींची जाती है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि F, BC का मध्य-बिंदु है।

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समाधान:

हमारे पास है,

class 9 maths chapter 9 in Hindi

DAB में, हम जानते हैं कि E, का मध्य-बिंदु है

एडी और ईजी || एबी [∵ ईएफ || एबी]

मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से हम पाते हैं कि G, BD का मध्य-बिंदु है।

ABDC में फिर से, हमारे पास G, BD का मध्यबिंदु है और GF || डीसी.

[∵ एबी || डीसी और ईएफ || AB और GF, EF का एक भाग है]

मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से हम पाते हैं कि F, BC का मध्य-बिंदु है।

प्रश्न 5.

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समद्विभाजित करते हैं।

ncert solutions for class 9 maths chapter 8 in hindi

समाधान:

चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर और समान होती हैं।

∴ एबी || डीसी

⇒ एई || एफसी …(1)

और एबी = डीसी

1/2AB = 1/2DC

एई = एफसी …(2)

(1) और (2) से, हमारे पास है

एई || पीसी और एई = पीसी

ECF एक समांतर चतुर्भुज है।

अब, DQC में, F, DC का मध्य-बिंदु है और FP || सीक्यू

[∵ AF || CE]

डीपी = पीक्यू …(3)

[मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा] इसी प्रकार, A BAP में, E, AB और EQ का मध्य-बिंदु है || एपी [∵AF || सीई]

⇒ बीक्यू = पीक्यू …(4)

[मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा]

(3) और (4) से, हमारे पास है

डीपी = पीक्यू = बीक्यू

अतः, रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 6.

दर्शाइए कि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है, जहाँ P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

पीक्यू, क्यूआर, आरएस और एसपी को मिलाएं।

आइए हम PR, SQ और AC को भी मिलाएँ।

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Q6

अब, ABC में, हमारे पास P और Q क्रमशः इसकी भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।

∴ पीक्यू || एसी और पीक्यू = 1/2 एसी …(1)

[मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]

इसी तरह, आरएस || एसी और आरएस = 1/2 एसी …(2)

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

पीक्यू || आरएस, पीक्यू = आरएस

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

और एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अर्थात PR और SQ एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इस प्रकार, एक चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

प्रश्न 7.

ABC एक त्रिभुज है जो C पर समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समानांतर एक रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि

(i) D, AC का मध्य-बिंदु है

(ii) एमडी एसी

(iii) सीएम = एमए = 1/2AB

समाधान:

अपने पास

ncert solutions for class 9 maths chapter 8

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Q7

(i) ACB में, हमारे पास है

M, AB का मध्य-बिंदु है। [दिया गया]

MD || BC  [दिया गया]

मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए,

D, AC का मध्य-बिंदु है।

(ii) चूंकि, MD|| BC और AC एक तिर्यक रेखा है।

∠MDA = ∠BCA

[ संगत कोण बराबर होते हैं] As

∠BCA = 90° [Given]

∠MDA = 90°

⇒ MD ⊥AC.

(iii) ADM और CDM में, हमारे पास है

∠ADM = ∠CDM [प्रत्येक 90° के बराबर]

एमडी = एमडी [आम]

AD = CD [∵ D, AC का मध्य-बिंदु है]

 ∆ADM ≅ ∆CDM[एसएएस सर्वांगसमता द्वारा]

MA = MC [सी.पी.सी.टी. द्वारा] .. ..(1)

∵ M, AB का मध्य-बिंदु है [दिया है]

एमए = 1/2AB …(2)

(1) और (2) से, हमारे पास है

CM = MA = 1/2AB